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Paradossi logici

Il termine paradosso deriva dal greco ed e' composto da para (contro) e doxa (opinione). 
Indica una proposizione formulata in evidente contraddizione con l'esperienza comune o con i propri principi elementari della logica ma che sottoposta a rigorosa critica si dimostra valida.
I paradossi sono smagliature di assurdita' nel tessuto della conoscenza: dapprima ci fanno dubitare delle nostre credenze e poi ci spingono a ridefinire i nostri concetti.
Alcuni sono antichi quanto la parola, altri sono addirittura preverbali e puramente percettivi.
Studiarli e confrontarcisi e' un occasione non solo per rimettere in discussione i pregiudizi piu' radicati, ma anche per scoprire il ruolo che idee semplici e divertenti hanno avuto nello sviluppo delle scienze piu' disparate, dalla matematica all'economia. (Odifreddi)

Segnaliamo un interessantissimo articolo di Odifreddi, che descrive ed analizza il significato del paradosso nella storia e nella filosofia con chiarezza e completezza :

"Tempi e luoghi dei paradossi"  
http://www.vialattea.net/odifreddi/paradossi/paradossi1.htm  

 

Forse anche questa nostra frase contiene un paradosso:
"Riportiamo un elenco dei piu' famosi paradossi per introdurre chi legge al fascino della logica."

 

 

 2 = 1
 Tre enunciati falsi
 Il paradosso del mentitore
 L'inizio del tempo
 L'impercettibile raddoppiamento notturno
 Autoriferimento
 Achille e la Tartaruga
 Il barbiere
 Il paradosso di parmenide

 

 

 

2 = 1

 

x = 1

x = x

x^2=x^2     (x al quadrato)

togliamo x^2 da entrambi i membri

x^2-x^2= x^2-x^2

(x-x)(x+x) = x(x-x)

dividiamo per (x-x)

(x+x) = x

ma  x = 1

quindi 2 = 1

 

Il passaggio decisivo è dividere per (x - x), che è 0. Il quinto passaggio asserisce correttamente che 1 per 0 è uguale a 2 per 0. Non ne segue però che 1 sia uguale a 2: qualsiasi numero moltiplicato per 0 è uguale a qualsiasi altro numero moltiplicato per 0.

 

 
Tre enunciati falsi

 

Qui ci sono tre enunciati falsi. 

a. 1+1=2 
b. 2:2=3 
c. 5+2=7 
d. 13-3=9 
e. 27:3=9 

Gli enunciati falsi sembrano essere due, b e d. Quindi l’affermazione "Qui ci sono tre enunciati falsi" è falsa e costituisce – così, il terzo enunciato falso. Ma se gli enunciati falsi sono tre, allora è vera! 

 
Il paradosso del mentitore

Tra i paradossi più antichi e più discussi bisogna annoverare quello del mentitore che viene presentato in moltissime versioni, come, ad esempio, quella che presenta il cretese Epimenide che afferma 

"tutti i cretesi sono mentitori". 

Come possiamo determinare il valore di verità dell'affermazione di Epimenide? Sia che la si ammetta vera che falsa si cade subito in contraddizione.

 
L'inizio del tempo

Supponiamo che il mondo sia stato creato un'ora fa. Tutti i ricordi e le altre tracce degli eventi "precedenti" della nostra vita sono stati ugualmente creati un'ora fa per uno scherzo personale del Creatore. Come fate a dimostrare che non è vero?
Bertrand Russel, inventore di questo esperimento mentale nel 1921, sosteneva di no.

 
L'impercettibile raddoppiamento notturno

Supponiamo che la scorsa notte, mentre tutti dormivamo, tutto l'universo abbia raddoppiato le proprie dimensioni. Vi sarebbe un qualche modo di accorgersi di ciò che è successo?
Chiaramente NO!
Famoso enigma intellettuale proposto da Jules Henri Poincaré (1854-1912)

 
Autoriferimento

Questa proposizione è falsa.

 
Achille e la Tartaruga

Storicamente i paradossi più noti sono quelli di Zenone di Elea, vissuto nel V secolo a.C.; tra essi il paradosso di Achille e la tartaruga.

Achille corre a una velocità dieci volte superiore a quella della tartaruga, la quale parte con un vantaggio di 100 metri. Nel momento in cui Achille raggiunge il punto T0 da cui è partita la tartaruga, questa si sarà spostata nel punto T'. Rapidamente Achille raggiungerà T', ma la tartaruga si sarà spostata in T'', e così via all'infinito. Se ne conclude che Achille non raggiungerà mai la tartaruga.
Il paradosso è evidente, in quanto chiunque sa benissimo che è vero il contrario e anche in matematica, con un'equazione di primo grado si può determinare quando avviene il sorpasso. Ma il problema sta nel far quadrare i conti utilizzando la stessa impostazione di Zenone. Si trova così una somma infinita :
100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ..... = 111,11111.....
Con lo con lo sviluppo del calcolo infinitesimale a partire dal XVII secolo si sono potuti risolvere in modo definitivo i problemi posti dalla somma di infiniti termini. A questo proposito Russell annota: "Si dimostra che, se Achille raggiungerà mai la tartaruga, questo dovrà accadere dopo che sia trascorso un numero infinito di istanti dal momento della sua partenza. E questo, di fatto, è vero; ma non è vero che un numero infinito di istanti dia origine a un tempo infinitamente lungo, e quindi non si può affatto concludere che Achille non raggiungerà mai la tartaruga."

 
Il barbiere

Nel 1918 Russell presenta una versione del paradosso:
Un villaggio ha tra i suoi abitanti un solo barbiere. Egli è un uomo ben sbarbato che rade tutti e unicamente gli uomini del villaggio che non si radono da soli. Se i fatti stanno in questo modo sorge immediatamente la domanda: "Chi rade il barbiere?". Se distinguiamo gli uomini del villaggio in due insiemi, quelli che si radono da soli e quelli che si fanno radere dal barbiere, ricadiamo in pieno nelle premesse del paradosso di Russell.

 
Il paradosso di parmenide

E' possibile dare la definizione del non essere, di ciò che non è?

 

Libro consigliato

Nicholas Falletta:  IL LIBRO DEI PARADOSSI

Tea Scienze pp.256  ISBN 88-502-0028-5

Sin dai tempi antichi, la storia del pensiero è percorsa da una catena sottile ma resistente di bizzarri oggetti mentali, concetti, problemi e immagini che sembrano fatti apposta per ribaltare le verità più largamente accettate: i paradossi. Sulla scorta di numerosissimi esempi (dalla tartaruga di Zenone ai disegni di Escher), questo libro presenta, discute, illustra e spiega i tre tipi fondamentali di paradossi: affermazioni che sembrano vere ma che in realtà sono contraddittorie; affermazioni che sembrano contraddittorie ma che in realtà sono vere; affermazioni corrette che portano a conclusioni contraddittorie. E al lettore non è richiesta alcuna conoscenza specifica oltre quella del linguaggio quotidiano e dell’aritmetica elementare, ma solo una certa disponibilità verso la bizzarria, la curiosità di scoprire i meccanismi più strani del pensiero e il desiderio di divertirsi in maniera intelligente.