Soluzione

Due triangoli sono uguali se hanno gli angoli e i lati ordinatamente uguali.

Gli avverbi sono una di quelle parti del discorso che si studia alla fine dell’anno scolastico, con meno cura e tempo dei verbi o dei sostantivi, e per questo forse possono essere considerati di secondaria importanza nel discorso. Per noi invece hanno un valore essenziale.

Allora ecco l’idea: potrebbe darsi che i due triangoli siano simili, ma i due lati uguali potrebbero non coincidere nelle due figure.

Potrebbe cioè darsi che il lato piccolo del triangolo maggiore sia il medio del minore e così il medio del maggiore sarà il lato grande del triangolo minore.

Vediamo se (chiamando P, M e G i lati piccolo, medio e grande del triangolo maggiore e p, m e g quelli del triangolo minore) riusciamo a scrivere qualche formula.

Intanto i triangoli sono simili e i lati proporzionali, quindi

P = k*p, M = k*m, G = k*g.

Poi abbiamo detto che: P = m, M = g.

Allora: m = k*p, g = k*m, G = k*g,

cioè, sostituendo: G = k*g = k*k*m = k*k*k*p.

Siccome i lati hanno misure intere e minime, G e p saranno primi tra loro, e differiranno per un fattore k alla terza, che potrebbe anche non essere intero (ma deve essere comunque razionale): con semplici considerazioni, si desume che dovranno essere dei cubi, i più piccoli possibili. Consideriamo allora il caso p = 1, G = 8.

Da : G = k*k*k*p si ricava k = 2,

e poi:

p = 1, m = 2, g = 4;

P = 2, M = 4, G = 8.

I lati sono proporzionali e quindi gli angoli sono effettivamente uguali.

Due lati del primo triangolo sono uguali a due lati del secondo, i terzi lati sono uguali e tutti i valori sono numeri interi.

Sembra tutto risolto, ma si deve ricordare ancora il teorema che dice che "In un triangolo ogni lato deve essere minore della somma degli altri due" (altrimenti non si riesce a chiudere la figura). Vediamo facilmente che i nostri risultati non osservano quella regola. Proviamo allora con:

p = 1, G = 27, ricordando che devono essere cubi perfetti. Le cose sembrano andare ancora peggio.

Al tentativo:

p = 8, G = 27

si trova la soluzione voluta.

Infatti:

p = 8, m = 12, g = 18;

P = 12, M = 18, G = 27

fa quadrare il tutto e la soluzione è la minima possibile, con k = 3/2.